Metodo de Ruffini

REGLA DE RUFFINI: Permite hallar los coeficientes del resultado de la división de un polinomio por el monomio (x - r). En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini). Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a).

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio.

Ejemplo:        x⁴+6x³+x²-24x+16

El posible valor de “a”  deber ser divisor del término independiente es este caso 16

16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión

Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16.

Probamos con 2:       Si  x⁴+6x³+x²-24x+16,                           

Sus coeficientes en orden son:   

1. Bajas el primer  cociente y multiplicas por el divisor. Ubicas bajo el 2do.cociente para sumar o restar según sea el caso.      

1          6          1          -24       16        2 

             2         16        34        20       

1          8         17        10        36        NO

 2.   Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

 1         6          1          -24       16        -4

           -4        -8           28      -16

1          2          -7         4          0          SI

 3.  Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso  contrario busca otro divisor y vuelve a intentar 

 Coeficientes resultantes:

(x³+2x²-7x+4) (x+4)

Volvemos a dividir:

1          2          -7         4          1

            1           3        -4

1          3          -4         0          SI

4.  Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario.

 En  nuestro caso nos salió para   -4 entonces el factor es (x+4)

 5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

 (x²+3x-4) (x-1) (x+4)

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

= (x+4)² (x-1)²

Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original.

x⁴ + 6x³ + x² - 24x + 16=

(-4)⁴ + 6(-4) + (-4)² - 24(-4) + 16=

256-384+16+96+16=0           "Es lo que debe suceder"